湖北省襄阳市17学年高二数学下学期期末考试试题文(扫描版)

发布于:2021-10-05 04:50:01

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湖北省襄阳市 2016-2017 学年高二数学下学期期末考试试题 文 (扫描 版)

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2017 年 7 月 襄 阳 市 普 通 高 中 调 研 统 一 测 试 高二数学(文史类)参考答案及评分标准 一.选择题:DBCBB DDAAC 二.填空题:13.8 三.解答题: 17.(Ⅰ)解:当 a = 1 时, f ( x) ? x3 ? ax2 ? a2 x ? 2 ,∴ f ?( x) ? 3x2 ? 2 x ? 1 ∴切线斜率为 k ? f ?(1) ? 4 又 f (1) = 3,∴切点坐标为(1,3) ∴所求切线方程为 y ? 3 ? 4( x ? 1) ,即 4 x ? y ? 1 ? 0 2分 4分 6分

AC
15. 2 16.3

1 14. [ , ? ?) 3

(Ⅱ)解: f ?( x) ? 3x2 ? 2ax ? a2 ? ( x ? a)(3x ? a) a 由 f ?( x) ? 0 ,得 x =-a 或 x ? 8分 3 a ∵a > 0,∴ ? ?a 3 a a ∴当 x < -a 或 x ? 时, f ?( x) ? 0 ,当 ?a ? x ? 时, f ?( x) ? 0 10 分 3 3 a a ? a) 和 ( , 因此,函数 f (x)的单调递减区间为 (?a, ) ,单调递增区间为 (??, ? ?) . 12 分 3 3 18.(Ⅰ)解:若 p 为真,则 ? ? (m ? 1)2 ? 4 ? 2 ? 解得:m≤-1 或 m≥3 ? m 2 ? 2m ? 8 若 q 为真,则 ? ? 2m ? 8 ? 0 解得:-4 < m < -2 或 m > 4 ? m ≤ ?4或m ≥ 3 若“p 且 q”是真命题,则 ? ? ? 4 ? m ? ?2或m ? 4 解得: ? 4 ? m ? ?2 或 m > 4 ∴m 的取值范围是{ m | ? 4 ? m ? ?2 或 m > 4} (Ⅱ)解:若 s 为真,则 (m ? t )(m ? t ? 1) ? 0 ,即 t < m < t + 1 ∵由 q 是 s 的必要不充分条件 ∴ {m | t ? m ? t ? 1} ? {m | ?4 ? m ? ?2或m ? 4}
?t ≥ ? 4 即? 或 t≥4 ?t ? 1 ≤ ?2 解得: ? 4 ≤ t ≤ ?3 或 t≥4 ∴t 的取值范围是{ t | ? 4 ≤ t ≤ ?3 或 t≥4}

1 ≥0 2

1分 2分 3分 4分 6分

7分 8分 9分 11 分

12 分 2分 4分 6分 10 分

19.(Ⅰ)解:设 P(x0,y0),P 到双曲线的两条渐*线的距离记为 d1、d2 双曲线的两条渐*线方程为 x ? 2 y ? 0,x ? 2 y ? 0 | x ? 2 y0 | | x0 ? 2 y0 | 1 2 2 ∴ d1d2 ? 0 ? ? | x0 ? 4 y0 | 5 5 5 4 2 2 又点 P 在双曲线 C 上,∴ x0 ? 4 y0 ? 4 ,故 d1d2 ? 5 (Ⅱ)解: | PA |2 ? ( x0 ? 5)2 ? ( y0 ? 0)2

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2 2 ∵ x0 ? 4 y0 ? 4 ,∴ | PA |2 ? ( x0 ? 5) 2 ?

2 x0 5 ? 1 ? ( x0 ? 4) 2 ? 4 4 4

12 分 10 分 ① 1分

∵点 P 在双曲线 C 上,∴| x0 |≥2 2 故当 x0 ? 4 时,| PA | 有最小值 4,| PA |有最小值 2.
3 c 3 a 2 ? b2 3 ,∴ ? ,即 ? ? a2 ? 4b2 2 a 2 a2 4 由已知,A1(-a,0)、A2(a,0)、B1(0,-b)、B2(0,b)

20.(Ⅰ)解:∵ e ?

∴ A1B1 ? (a, ? b), A1B2 ? (a, b) 由 A1B1 ? A1B2 ? 3 得 a 2 ? b2 ? 3 ② 3分

由①②得:a = 2,b = 1,∴椭圆 C 的方程为

x ? y2 ? 1 . 4

2

4分

(Ⅱ)证:由(Ⅰ)知,A1(-2,0)、A2(2,0)、B1(0,-1)、B2(0,1) ∴直线 A2P 的方程为 y ? k ( x ? 2)
? y ? k ( x ? 2) ? 由 ? x2 得: (1 ? 4k 2 ) x2 ?16k 2 x ?16k 2 ? 4 ? 0 2 ? y ? 1 ? ?4

6分

16k 2 8k 2 ? 2 8k 2 ? 2 ?4k ,∴ P( ? x1 ? , ) 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 2k ? 1 1 4k 2 ? 4k ? 1 直线 B2P 的方程为 y ? 1 ? x ? 1 (k ? ) x ,即 y ? ? 2 4k ? 2 2 2 ? 8k 4k ? 2 4k ? 2 令 y = 0,得 x ? ,即 Q( , 0) 2k ? 1 2k ? 1 直线 A1B2 的方程为 x ? 2 y ? 2 ? 0
设 P(x1,y1),则 x1 ? 2 ?

8分

4k ? 2 4k ?x ? 2 y ? 2 ? 0 由? 得: E( 10 分 , ) y ? k ( x ? 2) 2k ? 1 2k ? 1 ? 4k ? 2k ? 1 2k ? 1 1 2 k ?1 ∴直线 EQ 的斜率 m ? ,∴ 2m ? k ? 2 ? ? ? k ? ,是定值. 12 分 4k ? 2 4 k ? 2 4 4 2 ? 2k ? 1 2k ? 1

1 a x2 ? ax ? 1 ? ? ( x ? 0) x2 x x2 令 g ( x) ? x2 ? ax ? 1( x ? 0) ,其判别式 ? ? a 2 ? 4 当 ?2 ≤ a ≤ 2 ,△≤0, f ?( x) ≥ 0 ,因此 f (x)在(0,+∞)上单调递增 当 a ? ?2 时,△ > 0,g (x) = 0 的两根都小于 0,在(0,+∞)上, f ?( x) ? 0 ∴f (x)在(0,+∞)上单调递增
21.(Ⅰ)解: f ?( x) ? 1 ? 当 a > 2 时,△> 0,g (x) = 0 的两根为
a? a ?4 2
2

2分

3分 4分

a ? a2 ? 4 a ? a2 ? 4 a ? a2 ? 4 a ? a2 ? 4 )、( , ? ?) 上单调递增,在 ( , )上 故 f (x)在 (0, 2 2 2 2 单调递减 综上,当 a≤2 时,f (x)在(0,+∞)上单调递增,

a ? a2 ? 4 a ? a2 ? 4 )、( , ? ?) 上单调递增, 当 a > 2 时,f (x)在 (0, 2 2

在(

a ? a2 ? 4 a ? a2 ? 4 , ) 上单调递减. 2 2

6分

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(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,a > 2 ∵ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? ∴k ?
x1 ? x2 ? a (ln x1 ? ln x2 ) x1 x2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ln x1 ? ln x2 1 ? 1? ?a? x1 ? x2 x1 x2 x1 ? x2 ln x1 ? ln x2 x1 ? x2

由(Ⅰ)知, x1 x2 ? 1 ,故 k ? 2 ? a ? 若存在 a,使得 k ? 2 ? a ,则 将 x1 x2 ? 1 代入得: x2 ?

8分

ln x1 ? ln x2 ? 1 ,即 ln x1 ? ln x2 ? x1 ? x2 x1 ? x2

1 ? 2 ln x2 ? 0 ( x2 ? 1) x2



10 分

1 再由(Ⅰ)知, h(t ) ? t ? ? 2ln t 在(0,+∞)上单调递增 t 1 1 ? 2 ln x2 ? 1 ? ? 2 ln1 ? 0 ,与①矛盾 因此 x2 ? x2 1 k ? 2?a. ∴不存在实数 a,使得
22.(Ⅰ)解:由 ? 2 cos 2? ? 1 ,得: ? 2 (cos2 ? ? sin 2 ? ) ? 1 ,即 x2 ? y 2 ? 1 ∴曲线 C 的普通方程为: x2 ? y 2 ? 1 错误!未找到引用源。 ? x ? 3t 由? 得: x ? 3 y ? 3 ? 0 ?y ?1? t ∴直线 l 的普通方程为: x ? 3 y ? 3 ? 0

12 分

2



4分

?x ? y ? 1 由? 得: y 2 ? 3 y ? 1 ? 0 ?x ? 3 y ? 3 ? 0 设 A(x1,y1)、B(x2,y2),则: y1 ? y2 ? 3,y1 y2 ? 1
2 2

∴ | AB | ? 1 ? ( 3)2 | y1 ? y2 |? 2 ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ? 2 5 (Ⅱ)解:点 P 的直角坐标为(0,1) y ? y2 3 x1 ? x2 3 ( y1 ? y2 ) ? 2 3 3 ? , ? ? 由(Ⅰ)得: 1 2 2 2 2 2 3 3 AB 中点 M 的坐标为 ( , ) 2 2 故 | PM |? (
3 3 ? 0)2 ? ( ? 1)2 ? 1 2 2

6分

8分 10 分

23.(Ⅰ)解:∵a > 0,b > 0,且 a + b = 1 a?b 2 1 由基本不等式得: ab ≤ ( ) ? 2 4 1 当且仅当 a ? b ? 时等号成立, 2 1 由 ab < m 恒成立,∴ m ? 4 (Ⅱ)解:∵a > 0,b > 0,且 a + b = 1 4 1 4 1 4b a ∴ ? ? ( ? )(a ? b) ? 5 ? ? ≥9 a b a b a b

2分

4分

6分

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4 1 ? ≥| 2 x ? 1| ? | x ? 2 | 恒成立,则 | 2 x ? 1| ? | x ? 2 |≤ 9 a b 当 x ≤ ?2 时,不等式化为: 1 ? 2 x ? x ? 2 ≤ 9 ,解得: ?6 ≤ x ≤ ?2 1 1 当 ?2 ? x ? 时,不等式化为: 1 ? 2 x ? x ? 2 ≤ 9 ,解得: ?2 ? x ? 2 2 1 1 当 x ≥ 时,不等式化为: 2 x ? 1 ? x ? 2 ≤ 9 ,解得: ≤ x ≤12 2 2 故 x 的取值范围是[-6,12]
故若

7分 8分 9分

10 分

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