密度算符的微扰级数解线性极化率张量表达式

发布于:2021-11-28 10:27:16

§1.3.3 密度算符的微扰级数解(相互作用表象) 在许多情况中,相互作用表象下考虑问题会很简便。 一、演化算符 U(t) 1. 演化算符定义 U (t ) ? exp(?i H 0 t / ?) U (?t ) ? exp(i H 0 t / ?) H 0 是未微扰哈密顿算符。 ? ? ? ? (1.3.3-1) (1.3.3-2) ? ? 2. 演化算符性质 i) U (t ) U ( ?t ) ? 1 ii) U (t ) ? U (?t ) n ? ? (1.3.3-3) (1.3.3-4) ? ? ? ? ? ? ? ? ? -i H 0 t / ? ? ? ? ? ? ? (泰勒展开) 由 H 0 是厄米算符 H 0 ? H 0 和 exp(?i H 0 t / ?) ? ? ? n! n ?0 证明: ? ? ? ? U (t ) ? ?exp(?i H 0 t / ?) ? ? ? ? ? ? ?? n ? ( ? i H 0 t / ?) ? ? ?? ? n ?0 n! ? ? ? ? (i H 0 t / ? ) n ?? n! n ?0 (i H 0 t / ?) n ?? n! n ?0 ? exp(i H 0 t / ?) ? U (?t ) 即 ? ? ? ? ? ? ? U ( t ) U ( t? ) ? ?? 1 (1.3.3-5) 二、相互作用表象下的态矢量和力学量 1、态矢量 ? I ? U (-t ) ? ? (1.3.3-6) ? 是薛定谔表象下的态矢, ? I 是相互作用表象态矢 1/8 ? ? U (t ) ? I 1、力学量 ? (1.3.3-7) ? ? O ? ? O ? ? ? I U (?t )O U t( ? )I ? ? I U (?t )OU t( ? )I ? ? I OI ? I OI ? ? I OI ? I O I ? U (?t ) OU (t ) ? ? ? ? ? ? ? ? (1.3.3-8) ? ? ? (1.3.3-9) (1.3.3-10) 相互作用表象下的密度算符 ? I ? U (?t ) ? U (t ) 相应的微扰项为 V I ? U (?t ) V U (t ) ? ? ? ? ? ? ? ? (1.3.3-11) (1.3.3-12) (1.3.3-13) 相互作用表象系统哈密顿 H I ( t )? H ) 0? V I ( t ? ? ? 三、相互作用表象下密度算符的运动方程 ? ?I 1 ? ? ? ? ? ?V I , ? I ? ?t i? ? ? ? (1.3.3-14) . 证明: ? ? I ? ? ? ?1 ? ? ? ? ?U ? U ? ?t ?t ? ? ? U ? ? ? ?1 ? ? U ? ?1 ? ? ? ? ? U ?U ? ?U U ?t ?t ?t ? ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ?1 ? ? iH0 iH0 ? ?1?? ?? ? ?? U ? U ?U ? U ? U ? ? H 0 ? V , ? ? ?U ? ? ? ? ?? ? i? ? ? ? i ? ? ? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? ? 1 ? ?1 ? ? ? ? ? 1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? H 0 U ? U ? U ? U H 0 ? ? U ? H 0 , ? ? U ? U ?V , ? ? U ?? i? ? ? ? ? ? i? i ? ?1 ? ? ? ? ? 1 ? ?1 ? ? ? ? ? 1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? U ? H 0 , ? I ? U ? U ? H 0 , ? I ? U ? U ?V , ? ? U ? i? i? ? ? ? ? ? ? ? ? 1? ? ? ?V I , ? I ? i? ? ? ? ?1 ? ? ? 证明用到了 2/8 ? ? ? ?1 ? ? ? ? ?1 ? ? H 0 和 U , U 可对易性 ?U , H 0 ? ? 0, ?U , H 0 ? ? 0 ? ? ? ? ? ? 和 ?? ?? ? ? U ? A, B ? U ? U ? ? ? ?1 ?1 ? ? ? A BU ? U B AU ? ?1 ? ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? U AU ? ? U BU ? ? ? U BU ? ? U AU ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? AI , B I ? ? ? 从运动方程可见,相互作用表象下密度算符随时间的变化只与微扰算符有关 对(1.3.3-14)式积分得: ? I ? t ? ? ? I ? -? ? ? 式中 ? ? ? ? 1 t ?? ? V I (? ), ? I (? ) d? ? ? ? ?? i? ? ? (1.3.3-15) (0) ? I ? -?? ? ?I ?( 0 ) ?U ? ? 1 ? ( 0 )? ? U ?? ? (1.3.3-16) ? ? (0) ? ? 利用了热*衡状态下的密度算符与演化算符的可对易性: ? ? , U(t) ? ? 0 ? ? 式(1.3.3-16)表明, 相互作用表象的热*衡密度算符与薛定谔表象热*衡密度算符相等. 四、相互作用表象下密度算符的微扰级数解 相互作用表象下密度算符的微扰级数 ? I (t ) ? ? I ? ? I ? ? I ? ? ? I ? ? 式中: ? ?( 0 ) ? (1? ) ( 2 )? r ( ) (1.3.3-17) ? I ,热*衡状态下密度算符 ? I ,与 V I 成线性关系的项 ? (1

相关推荐

最新更新

猜你喜欢